Сегодня мы поговори о фракталах. Сначала нам нужно разобраться с определением фракталов. Фракталами называют множества, обладающие свойством самоподобия. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

В обычной жизни мы очень часто сталкиваемся с фракталами. В реальном мире это могут быть снежинки, папоротники, раковины улиток, молнии и многое другое.

Примером простого фрактала является треугольник Серпинского. Первое математическое описание этого фрактала было опубликовано польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Для построения треугольника Серпинского, вам нужно построить большой треугольник, а затем построить другой треугольник, который получается путем соединения средних точек сторон большого треугольника. После этого у вас получится четыре одинаковых треугольника меньшего размера. Далее вам необходимо повторить алгоритм с получившимися треугольниками несколько раз, игнорируя треугольник, полученный при соединении средних точек сторон большого треугольника. У вас должно получиться что-то вроде этого:

Данная анимация треугольника Серпинского демонстрирует его свойство самоподобия.

Вы так же можете нарисовать данный фрактал более “простым” способом – методом хаоса. Теория хаоса – математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определенных условиях такому явлению, известному как хаос.


Итак, чтобы нарисовать нужный нам фрактал методом хаоса, нам нужно будет выполнять одни и те же действия сотни и тысячи раз подряд. Для этого мы будем использовать программу на python, с использованием библиотеки для графического вывода pygame.

Вначале нам необходимо поставить на плоскости, на которой мы рисуем фрактал, три произвольные точки, они станут вершинами нашего будущего треугольника.

Далее, необходимо поместить случайную точку на эту плоскость(помечена красной стрелочкой). Данная точка может располагаться где угодно на данной плоскости, лежать внутри или снаружи треугольника, формируемого тремя начальными точками:

Далее, необходимо поместить случайную точку на эту плоскость(помечена красной стрелочкой). Данная точка может располагаться где угодно на данной плоскости, лежать внутри или снаружи треугольника, формируемого тремя начальными точками:

Далее мы сотни раз должны провернуть эту операцию, то есть посередине, между точкой, построенной на предыдущем этапе и новой случайной вершиной поставить новую точку и использовать ее далее. Все это нужно проделывать, пока не будут четко видны контуры треугольника Серпинского.

Это очень интересно, так как построение такой сложной структуры, как фрактал, полностью основано на хаосе, случайности. Мы случайно выбираем вершины треугольника, случайно выбираем начальную точку, случайно выбираем вершину и вся эта череда случайных событий всегда приводит нас к одному и тому же результату – треугольнику Серпинского.

Возможно, у вас возникает вопрос: “Что будет если, поставить начальную точку в предполагаемую пустую область?” Как было сказано ранее, мы можем поместить начальную точку в любое место на плоскости, и это никак не повлияет на итоговый результат, и вот почему, если мы так сделаем, у нас будет просто пара точек в этих пустых областях, но на общую картину это не особо повлияет. Наш алгоритм продолжит работать. В конце мы должны смотреть не на поведение отдельных точек, а на поведение всей системы в целом, и если пара точек выбивается их общей картины, это ничего не меняет.

Как мы можем видеть, у нас получается три точки, выбивающиеся из общей картины, но на поведении других точек это не сказывается.

Фракталы это очень красивые математические фигуры, и как было понятно из статьи, получить такую красоту можно и из полного хаоса.